Pewne fakty i twierdzenia

Fakt 1. Punkt H jest punktem przecięcia wysokości trójkąta ABC. Prosta CH przecina bok AB wpunkcie Hc zaś okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie H’c. Wówczas punkt Hc jest środkiem odcinka HH’c. Dowód: Kąty BAH’c i BCH’c to kąty wpisane oparte na tym samym łuku, trójkąty ABHa i HcBC są przystające,ponieważ kąty BCHc i BAHa są równe, a kąt ABC jest wspólny. Kąty ABH'c i ABH są równe (trójkąty przystające). Punkty H i H'c są symetryczne względem odcinka AB, więc HHc i H’cHc są równe.

Fakt 2. Punkt H jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta ABC. Punkt Mc jest środkiem boku AB, zaś M’c punktem przecięcia półprostej HMc z okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Wtedy Mc jest środkiem odcinka HM’c. Dowód: Kąty AMcM’c i HMcB są kątami wierzchołkowymi. Są one równe także kątowi H’cMcB, ponieważ odcinki HHc i HcH’c są równe, a odcinek McHc jest wspólny dla obu trójkątów (trójkaty przystające). Oznacza to, że proste McM’c i McH’c są symetryczne względem symetralnej odcinka AB. Jest ona również osią symetrii okręgu opisanego na trójkącie ABC. To oznacza, że punkty M’c i H’c są względem niej symetryczne. Stąd:

Twierdzenie o okręgu dziewięciu punktów Dowód: Analogicznie do punktów H’c i M’c definiujemy punkty H’a, M’a, H’b, M’a. Z tego wynika: • punkty Xa, Xb, Xc są odpowiednio środkami odcinków Ha, Hb, Hc • punkty Ha, Hb, Hc są odpowiednio środkami odcinków HH’a, HH’b, HH’c • punkty Ma,Mb, Mc są odpowiednio środkami odcinków HM’a, HM’b, HM’c Z jednokładności o środku w punkcie H, o skali 1/2 i powyższych obserwacji wynika: • punkty Xa, Xb, Xc są odpowiednio obrazami punktów A, B, C • punkty Ha, Hb, Hc są odpowiednio obrazami punktów H’a, H’b, H’c • punkty Ma, Mb, Mc są odpowiednio obrazami punktów M’a, M’b, M’c Jednakże punkty A, B, C, H’a, H’b, H’c, M’a, M’b, M’c leżą na jednym okręgu, zatem ich obrazy również.