O mostach, grafach i cyklu Eulera

Krótki wstęp

Parkietaż, inaczej tesselacja lub kafelkowanie to pokrycie płaszczyzny powtarzającymi się figurami geometrycznymi bez zachodzenia oraz dziur. Przykładem parkietaży występujących w naturze są plastry miodu. Poza tym spotkać je można między innymi w architekturze np. Alhambra oraz sztuce m. in. prace M. C. Eschera.

Parkietaże są bez wątpienia ciekawym, choć pozornie prostym tematem. Pozornie, ponieważ odpowiedzi na niektóre pytania o ich właściwości okazały się na tyle trudne, że zajmowały umysły matematyków przez długie lata.

Parkietaże regularne

Parkietaże regularne to takie, w których w każdym wierzchołku spotyka się taka sama grupa figur.

Najlepszym sposobem charakteryzowania parkietaży regularnych jest podanie ilości i rodzaju figur spotykających się w każdym wierzchołku. W każdym wierzchołku pierwszego parkietażu z galerii obok spotykają się: kwadrat, sześciokąt oraz dwunastokąt, zatem parkietaż ten jest typu $(4, 6 13)$ . Drugi opisać możemy na dwa jednoznaczne sposoby, czyli $(3, 3, 4, 3, 4)$ oraz $(3^2, 4, 3, 4)$ . Zapis $n^k$ , oznacza, że dany $n$ -kąt występuje $k$ razy po kolei.

Parkietaże foremne

Szczególnym typem tesselacji są, często uważane za najdoskonalsze, parkietaże foremne. Pod tą nazwą kryją się te z parkietaży regularnych, które składają się z jednego rodzaju wielokątów foremnych. Jak wykażemy za chwilę istnieją tylko trzy takie wielokąty, którymi można „wykafelkować” nieskończoną płaszczyznę tak, żeby na siebie nie zachodziły, nie tworzyły dziur i stykały się wierzchołkami. Są to: trójkąt równoboczny, kwadrat oraz sześciokąt foremny. Fragmenty każdego z parkietaży foremnych znajdują się w galerii obok.

Dowód

Jeżeli w danym punkcie parkietaża styka się $m$ wielokątów to suma ich kątów musi być równa $360$ (jeżeli będzie mniejsza – powstanie dziura, natomiast jeżeli będzie większa wielokąty będą się nakładać). Ponieważ wszystkie są jednakowe możemy zapisać, że kąt wewnętrzny każdego z nich jest równy $alfa = 360/m$ .

Wzór na miarę kąta wielokąta foremnego to $alfa = 180 – 360/n$ .

Porównując powyższe otrzymujemy: $180-360/n=360/m$ .

Istnieją trzy pary liczby naturalnych $(m, n)$ , które spełniają to równanie i są to $(3, 6)$ , $(4, 4)$ , $(6, 3)$ .

Zatem parkietaż foremny możemy zbudować z trzech sześciokątów, czterech kwadratów lub sześciu trójkątów, co dowodzi wcześniej postawionej tezie.

Parkietaże Penrose'a

W 1972 roku angielski fizyk i matematyk odkrył nowy typ tesselacji, nazwany od jego nazwiska parkietażami Penrose'a. Ich szczególną cechą jest to, że są nieokresowe (tzn. nie da się tak, przesunąć płaszczyzny, aby wzór nałożył się na siebie) oraz istnieje ich nieprzeliczalnie wiele. Sama możliwość stworzenia takiego parkietażu została udowodniona w 1966 r. przez Roberta Bergera oraz Macieja Mende, jednak ich parkietaż składał się z ponad 20 000 różnych kafelków. Penrose'owi udało się zbudować taki parkietaż z dwóch rodzajów rombów.

Parkietaże

Krótki wstęp

Parkietaże regularne

Parkietaże foremne

Dowód

Parkietaże półforemne

Parkietaże Penrose'a

Podsumowanie