Liczba Bella jest to liczba wszystkich podziałów danego zbioru n-elementowego. Przykładowo:
B₀ = 1 ponieważ zbiór 0-elementowy {} ma jeden podział: {}
B₁ = 1 ponieważ zbiór 1-elementowy {1} ma jeden podział: {1}
B₂ = 2 ponieważ zbiór 2-elementowy {1,2} ma dwa podziały: {1,2} oraz {1},{2}
Liczba ta określona jest wzorem rekurencyjnym:
$$B_{\text{n}}=\begin{array}{c}n\\ \sum \\ k=0\end{array}S\left(n,k\right)$$ By zastosować ten wzór będziemy musieli znać Liczby Stirlinga drugiego rodzaju. Teraz spróbujemy to zrobić:
$$B_2=\begin{array}{c}2\\ \sum \\ k=0\end{array}S\left(\mathrm{2,}k\right)=$$ $$=\left\{\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right\}=0+1+1=2$$ $$B_3=\begin{array}{c}3\\ \sum \\ k=0\end{array}S\left(\mathrm{3,}k\right)=$$ $$=\left\{\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}=0+1+\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}+1=2+\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}=$$ $$=2+2·\left\{\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right\}=2+2·1+1=5$$
Przykład: na ile sposobów możemy podzielić cztery osoby na grupy? $$B_4=\begin{array}{c}4\\ \sum \\ k=0\end{array}S\left(\mathrm{4,}k\right)=$$ $$=\left\{\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right\}=0+1+\left\{\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}+1=$$ $$=2+\left\{\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}=2+2·\left\{\begin{array}{c}4-1\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4-1\\ 2-1\end{array}\right\}+3·\left\{\begin{array}{c}4-1\\ 3\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4-1\\ 3-1\end{array}\right\}=$$ $$=2+2·\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right\}+3·\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}=2+2·\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}+1+3·1+\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}=$$ $$=6+3·\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}=6+3·2·\left\{\begin{array}{c}3-1\\ 2\end{array}\right\}+3·\left\{\begin{array}{c}3-1\\ 2-1\end{array}\right\}=6+6·\left\{\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right\}+3·\left\{\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right\}=$$ $$=6+6·1+3·1=15$$
Odpowiedź: cztery osoby możemy podzielić na grupy na 15 możliwych sposobów.