Wprowadzenie
Kombinatoryka jest to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała głównie na potrzeby obliczania rachunku prawdopodobieństwa na przykład dla gier hazardowych.
W kombinatoryce mają zastosowanie różne ciekawe ciągi liczbowe. Do ich zrozumienia będzie potrzebne nam trochę podstaw:

Reguła mnożenia ▼

Polega na tym, że jeżeli pewien wybór składa się z n decyzji, przy czym pierwszy można wykonać na k1 możliwości, drugi na k2, ... , n-ty na kn to ten wybór można dokonać na k1*k2*...*kn sposobów.

Silnia ▼

Silnia, oznaczana symbolem ! jest to operacja matematyczna wykonywana na liczbach naturalnych, przyjmująca wartość:

0! = 1
n! = n*(n-1)!

Czyli inaczej zapisując: n! = 1*2*3*...*n dla n>0

Symbol Newtona ▼

Czytany jest jako n nad k. Jest to dwu argumentowa funkcja liczb całkowitych nieujemnych, gdzie k jest mniejsze lub równe n, zdefiniowana według wzoru:

n k = n! k!(n−k)!

Permutacje ▼

Są to różne ustawienia kolejności elementów pewnego zbioru. Ilość permutacji bez powtórzeń elementów jest określona poniższym wzorem:
Pn=n!

Przykład: liczba możliwych kolejności ustawień liter A,B,C,D wynosi:
P4=4!=24

Kombinacja bez powtórzeń ▼

Jest to każdy podzbiór k-elementowy danego zbioru n-elementowego, poza zbiorem pustym bez powtarzania elementów. Ich ilość określona jest wzorem: C k n = n k
Przykład: Liczba możliwych 2 znakowych wyrazów (bez możliwością powtórzenia), stworzonych z liter A,B,C,D,E wynosi:

C 2 5 = 5 2 = 5! 2 !·3! = 10

Kombinacja z powtórzeniami ▼

Jest to każdy podzbiór k-elementowy danego zbioru n-elementowego, poza zbiorem pustym z możliwością powtarzania elementów. Ich ilość określona jest wzorem:

C ¯ k n = k + n 1 k
Przykład: Liczba możliwych 2 znakowych wyrazów (z możliwością powtórzenia), stworzonych z liter A,B,C,D,E wynosi:

C ¯ 2 5 = 2 + 5 1 2 = 6 2 = 6! 2!·4! = 15

Wariacja bez powtórzeń ▼

Jest to każdy k-elementowy ciąg różnych elementów zbioru n-elementowego. Ich ilość określona jest wzorem:

V k n = n! (n−k)!
Przykład: Liczba możliwych liczb 2 cyfrowych utworzonych z cyfr 1,2,3,4 bez powtarzających się znaków wynosi: V 2 4 = 4! (4−2)! = 12

Wariacja z powtórzeniami ▼

Jest to każdy k-elementowy ciąg elementów zbioru n-elementowego(z możliwością powtórzeń). Ich ilość określona jest wzorem:

V ¯ k n = n k
Przykład: Liczba możliwych liczb 2 cyfrowych utworzonych z cyfr 1,2,3,4(z możliwościa powtarzania się znaków) wynosi: V ¯ 2 4 = 4 2 = 16