Liczba Stirlinga pierwszego rodzaju

dla n liczb w k cyklach to liczba permutacji zbioru n-elementowego z ilościa k cykli. Opisana jest wzorem:


Liczbę Stirlinga pierwszego rodzaju możemy zapisać także w postaci s(n,k).
Przykład: liczba permutacji zbioru 4 elementowego złożonego z 2 cykli s(4,2)=11 .
Możemy je wszystkie wypisać, aby to sprawdzić:
(0,1,2)(3) , (0,2,1)(3) , (0,1,3)(2) , (0,3,1)(2) , (0,2,3)(1) , (0,3,2)(1) , (1,2,3)(0) , (1,3,2)(0) , (0,1)(2,3) , (0,2)(1,3) , (0,3)(1,2)
Nasze wnioski możemy potwierdzić licząc ze wzoru:


Jak widzimy, nasz wynik się zgodził.

Liczba Stirlinga drugiego rodzaju

to liczba sposobów podziału zbioru n-elementowego na k niepustych podzbiorów(bloków):


Liczbę Stirlinga drugiego rodzaju możemy zapisać także w postaci S(n,k). Przykład: liczba podziałów zbioru 4 elementowego złożonego na 2 bloki S(4,2)=7 .
Możemy je wszystkie wypisać, aby to sprawdzić:
{0,1,2}{3} , {0,1,3}{2} , {0,2,3}{1} , {1,2,3}{0} , {0,1}{2,3} , {0,2}{1,3} , {0,3}{1,2}
Nasze wnioski możemy potwierdzić licząc ze wzoru:


jak widzimy, nasz wynik się zgodził.