Liczba Stirlinga pierwszego rodzaju

dla n liczb w k cyklach to liczba permutacji zbioru n-elementowego z ilościa k cykli. Opisana jest wzorem:

$$\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]=\left(n-1\right)\left[\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right]$$ $$\text{zakładając¸ że:}\left[\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right]=\mathrm{1,}\left[\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right]=\mathrm{0,}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]=1oraz\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]=0\text{dla}k>n$$
Liczbę Stirlinga pierwszego rodzaju możemy zapisać także w postaci s(n,k).
Przykład: liczba permutacji zbioru 4 elementowego złożonego z 2 cykli s(4,2)=11 .
Możemy je wszystkie wypisać, aby to sprawdzić:
(0,1,2)(3) , (0,2,1)(3) , (0,1,3)(2) , (0,3,1)(2) , (0,2,3)(1) , (0,3,2)(1) , (1,2,3)(0) , (1,3,2)(0) , (0,1)(2,3) , (0,2)(1,3) , (0,3)(1,2)
Nasze wnioski możemy potwierdzić licząc ze wzoru:

$$\[ \left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]=\left(4-1\right)\left[\begin{array}{c}4-1\\ 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}4-1\\ 2-1\end{array}\right]=3·\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]= \] \[ =3·\left(3-1\right)\left[\begin{array}{c}3-1\\ 2\end{array}\right]+3·\left[\begin{array}{c}3-1\\ 2-1\end{array}\right]+\left(3-1\right)\left[\begin{array}{c}3-1\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}3-1\\ 1-1\end{array}\right]= \] \[ =6·\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]+3·\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+2·\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]=6·1+5·\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+0= \] \[ =6+5·\left(2-1\right)\left[\begin{array}{c}2-1\\ 1\end{array}\right]+5·\left[\begin{array}{c}2-1\\ 1-1\end{array}\right]=6+5·\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]+5·\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]= \] \[ =6+5·1+5·0=11 \]$$
Jak widzimy, nasz wynik się zgodził.

Liczba Stirlinga drugiego rodzaju

to liczba sposobów podziału zbioru n-elementowego na k niepustych podzbiorów(bloków):

$$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}=k·\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right\}$$ $$\text{zakładając¸ że:}\left\{\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right\}=\mathrm{1,}\left\{\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right\}=\mathrm{1,}\left\{\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right\}=0oraz\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}=0\text{dla}k>n$$
Liczbę Stirlinga drugiego rodzaju możemy zapisać także w postaci S(n,k). Przykład: liczba podziałów zbioru 4 elementowego złożonego na 2 bloki S(4,2)=7 .
Możemy je wszystkie wypisać, aby to sprawdzić:
{0,1,2}{3} , {0,1,3}{2} , {0,2,3}{1} , {1,2,3}{0} , {0,1}{2,3} , {0,2}{1,3} , {0,3}{1,2}
Nasze wnioski możemy potwierdzić licząc ze wzoru:

$$\left\{\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right\}=2·\left\{\begin{array}{c}4-1\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4-1\\ 2-1\end{array}\right\}=2·\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right\}=2·\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}+1=$$ $$=2·2·\left\{\begin{array}{c}3-1\\ 2\end{array}\right\}+2·\left\{\begin{array}{c}3-1\\ 2-1\end{array}\right\}+1=4·\left\{\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right\}+2·\left\{\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right\}+1=4+2+1=7$$
jak widzimy, nasz wynik się zgodził.