By rozwiązać to zadanie będziemy musieli policzyć liczbę Bella ze zbioru zawierającego wszystkie możliwości podziału naszej figury. Ich ilość policzymy za pomocą Liczby Catalana: C₃, ponieważ pięciokąt foremny jest figurą wypukłą.

Liczymy ilość możliwych podziałów naszej figury na trójkąty - C₃:

$$C_3=\frac{1}{\text{3+1}}\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=\frac{\text{6!}}{\text{4!·3!}}=\frac{\text{6·5}}{\text{3·2·1}}=\frac{30}{6}=5$$
Następnie liczymy ilość możliwych pogrupowań (liczba Bella dla zbioru 5-elementowego).

$$B_5=\begin{array}{c}5\\ \sum \\ k=0\end{array}S\left(\mathrm{5,}k\right)=$$ $$=\left\{\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right\}=$$ $$=0+1+\left\{\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right\}+1=$$ $$=2+2·\left\{\begin{array}{c}5-1\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}5-1\\ 2-1\end{array}\right\}+3·\left\{\begin{array}{c}5-1\\ 3\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}5-1\\ 3-1\end{array}\right\}+4·\left\{\begin{array}{c}5-1\\ 4\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}5-1\\ 4-1\end{array}\right\}=$$ $$=2+2·\left\{\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right\}+3·\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right\}+4·\left\{\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}=$$ $$=2+\left\{\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right\}+3·\left\{\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right\}+4·\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}+4·\left\{\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right\}=7+3·\left\{\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right\}+4·\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}=$$ $$=7+6·\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}+3·\left\{\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right\}+12·\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}+4·\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}=22+10·\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}=$$ $$=22+20·\left\{\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right\}+10·\left\{\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right\}=22+20·1+10·1=52$$
Odpowiedź: Wszystkie możliwe sposoby podziału pięciokąta foremnego na trójkąty za pomocą przekątnych możemy pogrupować na 52 różne możliwości.