Aby udowodnić prawdziwość twierdzenia należy przeprowadzić pewne rozumowanie zgodnie z prawami logiki
zwane dowodem tego twierdzenia. W dowodzie korzystamy z założeń dowodzonego twierdzenia, wcześniej udowodnionych twierdzień
,definicji.
Dowód, w którym rozpoczyna się od założeń, przeprowadza się wnioskowanie i dochodzi się to tezy twierdzenia, nazywa się dowodzeniem wprost.
Przykład 1.
Wykażemy, że jeśli x+y=6,x€R i y€R, to x2+ y2>=18
Założenie: x+y=6, x+y=6,x€R i y€R
Teza: x2+ y2>=18
Dowód(wprost): Z zaóżenia x+y=6 wynika, że y=6-x, zatem
x2+ y2=x2+(6-x)2
x2+ 36-12x+x2=2x2-12x+36=2(x2-6x+18x)=2(x2-6x+9+9)=2[(x-3)2+9]=2[(x-3)2+18]
Orzymaliśmy zależność
x2+ y2=2[(x-3)2+18]
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
2(x-3)2>=0, więc
2(x-3)2+18>=18, czyli
x2+ y2>=18
Co kończy dowód.